Математическое ожидание, обозначаемое как $E(X)$ или $\mu_X$, служит основной мерой центральной тенденции для случайной величины. Оно представляет собой «среднее значение на длительный срок», полученное при повторении испытаний. Физически это центр масс распределения вероятностей, вычисляемый как взвешенная по вероятностям сумма всех возможных исходов.
Формальные определения
Для дискретных случайных величин мы определяем математическое ожидание на основе функции массы вероятности (PMF):
Определение 3.1.1
Пусть $X$ — дискретная случайная величина. Математическое ожидание равно:
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
Определение 3.1.2
Если $X$ принимает различные значения $x_1, x_2, \dots$ с вероятностями $p_i$, то:
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
Закон непосредственного статистика (LOTUS)
Чтобы найти математическое ожидание преобразованной переменной $g(X)$, нам не нужно сначала находить плотность $g(X)$.
Теорема 3.1.1 (LOTUS)
Для любой функции $g$, математическое ожидание $g(X)$ — это сумма значений функции, взвешенных по исходным вероятностям:
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
Основные свойства
- Линейность (Теорема 3.1.2): $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Это верно даже если $X$ и $Y$ зависимы!
- Монотонность (Теорема 3.1.4): Если $X(s) \le Y(s)$ для всех исходов $s$, то $E(X) \le E(Y)$.
- Независимость (Теорема 3.1.3): Если $X$ и $Y$ независимы, то $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Пример 3.1.6: Индикаторы
Для индикаторной функции $I_A$, где $X=1$, если событие $A$ происходит, и $0$ в противном случае:
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$